Sifat Operasi Hitung Bilangan

Halo adik-adik, pada kelas 4 semester awal ini akan dibahas tentang “operasi hitung bilangan”. Apakah yang dimaksud dengan operasi hitung bilangan itu? Mari memperhatikan cerita di bawah ini. Amir memiliki 15 kelereng, Andi memiliki 25 kelereng, Asep memiliki 18 kelereng, dan Rangga memiliki 30 kelereng. Berapa jumlah kelereng keempat anak tersebut? Siapakah yang memiliki kelereng paling banyak? Siapakah yang memiliki kelereng paling sedikit?

Untuk menjawab semua pertanyaan tersebut, kita perlu mempelajari tentang operasi penjumlahan dan urutan bilangan. Baiklah, mari mempelajari materi berikut ini.

A. Mengenal Sifat-sifat Operasi Hitung

1. Sifat Pertukaran/Komutatif

a. Sifat Komutatif Pada Penjumlahan
Contoh;
Benarkah 45 + 15 = 15 + 45?
Pembuktian;
45 + 15 = 60
15 + 45 = 60

122 + 52 = 174
52 + 122 = 174
Jadi, 122 + 52 = 52 + 122

Jika 205 + 25 = 25 + n, maka berapa nilai n?
Jawab:
205 + 25 = 25 + n; n = 205
Jadi, n = 205.

b. Sifat Komutatif Pada Perkalian

Untuk menyegarkan ingatan kita tentang perkalian, prinsip perkalian merupakan penjumlahan berulang. Ini dipelajari saat kelas 2.

Contoh;
Benarkah 4 × 3 = 3 × 4
Pembuktian;
4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3
= 12

3 × 4 = 4 + 4 + 4
= 12
Dari perkalian di atas, terlihat bahwa 4 × 3 = 3 × 4.

Apakah 10 × 5 = 5 × 10
10 x 5 = 50
5 x 10 = 50
Jadi, 10 x 5 = 5 x 10

23 x 14 = 322
14 x 23 = 322
Jadi, 23 x 14 = 14 x 23

Berdasarkan penjumlahan dan perkalian di atas, dapatlah diketahui bahwa:
Jika a dan b dua bilangan cacah, maka berlaku:
 a + b = b + a (sifat komutatif pada penjumlahan)
 a x b = b x a (sifat komutatif pada perkalian)

2. Sifat Pengelompokan/Asosiatif

a. Sifat Pengelompokan/Asosiatif Penjumlahan
Perhatikan contoh dibawah ini;
1. 5 + (7 + 8) = ...
Jawab:
5 + (7 + 8) = 5 + 15 = 20

2. (5 + 7) + 8 = ...
Jawab:
(5 + 7) + 8 = 12 + 8 = 20

Tampak bahwa: 5 + (7 + 8) = (5 + 7) + 8

Contoh berikutnya;
a. 5 + 7 + 3 = (5 + 7) + 3
= 12 + 3
= 15

5 + 7 + 3 = 5 + (7 + 3)
= 5 + 10
= 15
Jadi, (5 + 7) + 3 = 5 + (7 + 3)

b. Sifat Pengelompokan/Asosiatif Perkalian
Perhatikan gambar dibawah ini;

Pada gambar diatas menunjukkan bahwa:
Apakah (3 × 4) × 2 = 3 × (4 × 2)
Pembuktian;
(3 × 4) × 2 = ...
12 × 2 = 24

3 × (4 × 2) = ...
3 × 8 = 24

Mari melihat contoh yang lain:

(15 × 3) × 4 = 15 × (3 × 4)
Pembuktian;
(15 × 3) × 4
45 × 4
= 180

15 × (3 × 4)
15 × 12
= 180

6 x 5 x 2 = (6 x 5) x 2
= 30 x 2
= 60

6 x 5 x 2 = 6 x (5 x 2)
= 6 x 10
= 60
Jadi, (6 x 5) x 2 = 6 x (5 x 2)

Berdasarkan penjumlahan dan perkalian di atas, dapatlah diketahui bahwa:
Jika a, b, dan c tiga bilangan cacah, maka berlaku:
(a + b) + c = a + (b + c) (sifat asosiatif pada penjumlahan)
(a x b) x c = a x (b x c) (sifat asosiatif pada perkalian)

3. Sifat Penyebaran/Distributif

a. Sifat Penyebaran/Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan.
Perhatikan perkalian tiga bilangan berikut!

a. 13 x (10 + 2) = 13 x 12 = 156

    (13 x 10) + (13 x 2) = 130 + 26 = 156

    Jadi, 7 x (26 + 74) = (7 x 26) + (7 x 74)

b. 7 x (26 + 74) = 7 x 100 = 700

    (7 x 26) + (7 x 74) = 182 + 518 = 700

    Jadi, 7 x (26 + 74) = (7 x 26) + (7 x 74)

Berdasarkan perkalian cacah di atas, dapatlah diketahui bahwa: 

Jika a, b, dan c tiga bilangan cacah, maka berlaku: 

a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)

Perhatikan juga tabel dibawah ini;

No	Ruas Kiri	Ruas Kanan
1	= 5 × (2 + 1) = 5 × 3 = 15	= (5 × 2) + (5 × 1) = 10 + 5 = 15
2	= 6 × (5 + 4) = 6 × 9 = 54	= (6 × 5) + (6 × 4) = 30 + 24 = 54
3	= 20 × (15 + 25) = 20 × 4 = 800	= (20 × 15) + (20 ×25) = 300 × 500 = 800

Pada operasi +, –, ×, :, bilangan yang berada di dalam tanda kurung harus dicari dahulu hasilnya.

Tabel tersebut menunjukkan bahwa:

Sifat seperti di atas disebut sifat penyebaran / distributif perkalian terhadap penjumlahan.

b. Sifat Penyebaran/Distributif Perkalian terhadap Pengurangan
Coba perhatikanlah gambar berikut ini!

Jadi, diperoleh hubungan sebagai berikut.
7 × 4 = (10 × 4) - (3 × 4)
atau
(10 - 3) × 4 = (10 × 4) - (3 × 4)
atau
4 × (10 - 3) = (4 × 10) - (4 × 3)
Sifat seperti ini disebut sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

Perhatikanlah beberapa contoh berikut ini!

8 × (9 – 4)	=	(8 × 9) – (8 × 4)
8 ×      5	=	72     –     32
40	=	40

6 × (5 – 3)	=	(6 × 5) – (6 × 3)
6 ×     2	=	30     –     18
12	=	12

Coba hitunglah menggunakan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan!

a. 12 × ( 6 – 2 )

b. 15 × ( 8 – 6 )

Jawab;

a. 12 × ( 6 – 2 )	=	( 12 × 6 ) – ( 12 × 2 )
	=	72       –       24
	=	48

b. 15 × ( 8 – 6 )	=	( 15 × 8 ) – ( 15 × 6 )
	=	120    –      90
	=	30

Nah, jadi dari sifat-sifat operasi hitung bilangan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

1. Sifat pertukaran/komutatif penjumlahan

a + b = b + a

2. Sifat pertukaran/komutatif perkalian

a × b = b × a

3. Sifat pengelompokan/asosiatif penjumlahan

a + (b + c) = (a + b) + c

4. Sifat pengelompokan/asosiatif perkalian

a × (b × c) = (a × b) × c

5. Sifat penyebaran/distributif perkalian terhadap penjumlahan

a × (b + c) = (a × b) +(a × c)

6. Sifat penyebaran/distributif perkalian terhadap pengurangan

a × (b – c) = (a × b) – (a × c)